Лекция 14.

§22. Метод перевала.


Метод вычисления асимптотических разложений интегралов по кривой на комплексной плоскости аналитических функций комплексной переменной, зависящих от действительного параметра.
F(l )=elf(z)j(z)dz; l >>1.
Как Вы знаете из курса анализа- асимптотическое разложение функции f(x)  в окрестности точки x0  имеет вид:
 f(x)=jk(x)+RN+1(x); jk+1(x)=o(jk(x)); RN+1(x)=o(jN(x)).
При x0 достаточно часто в качестве j (x) выбираются обратные степени x:
f(x)=сk/xk+RN+1(x); RN+1(x)=o(1/xN) и часто RN+1(x)=сN+1/xN+1.
Замечание. Асимптотический ряд, вообще говоря, не сходится.
В курсе анализа был рассмотрен метод асимптотических разложений
F(l )=elf(t)j(t)dt; l>>1,
и для достаточно гладких f(t) иj(t) при условии существования  единственного глобального максимума f(t) на [t1;t2] : f(t0)>f(t), f'(t0)=0, f"(t0)<0
была получена формула Лапласа: F(l )=
Обобщим этот результат на случай интегралов от аналитических функций комплексной переменной.
F(l )=elf(z)j(z)dz; l >>1,  Cg,  f(z), j(z)C(g).
Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y);  |eil v(x,y)|=1; и эта часть экспоненты- только осциллирующая подынтегральная функция. Очевидно, наибольший вклад в интеграл даст тот участок кривой интегрирования, на котором u(x,y) достигает глобального максимума на С.
Пусть z0- единственная точка глобального максимума u(x,y) на С: u(x0,y0)>u(x,y)|C.
Как ведет себя функция u(x,y) в окрестности этой точки ?
D u=0, zg', и в силу принципа максимума гармонической функции,
max u|g>u(x,y)|(x,y)g'=> хотя z0С точка глобального максимума u(x,y) на С, но в окрестности точки z0 в g' найдутся точки не лежащие на С, в которых значения u(x,y)>u(x0,y0)=> Через z0С проходят другие кривые (направления) на которых u(x,y) возрастает от значения u(x0,y0). Точка z0=x0+iy0 - седловая точка, или точка перевала поверхности u(x,y). Отсюда и название метода.
Очевидно, наибольший вклад в интеграл будет давать участок интегрирования в окрестности точки z0, если на нем u(x,y) будет убывать с наибольшей скоростью от значения u(x0,y0). В силу теоремы Коши контур интегрирования С в окрестности точки z0С можно деформироовать как угодно, не меняя значения интеграла.
В частности, участок контура С, проходящий через z0 можно направить по направлению наибыстрейшего спуска на поверхности u(x,y). Это направление определяется направлением u (grad u)  в точке z0 . Но (u, v) =uxvx+uyvy=0
(в силу условий Коши-Римана . => Направлением наибыстрейшего спуска будет направление  v=0, т.е линия уровня v(x,y)=v(x0,y0)=const.
Итак, Наибольший вклад в интеграл дает интегрирование по участку С, проходящему через z0 и совпадающему с линией уровня v(x,y)=v(x0,y0)=const.
Как ведет себя f(z) на этом участке?
f't(z)=ut(x,y)|C+ivt (x,y)|C, но vt(x,y)|C=0 и ut(x0,y0)|C=0, т.к. z0- точка глобального максимума и на С=> f'(z0)=0 (производная не зависит от направления).
vtt |C=0 (т.к. v(x,y)=v(x0,y0)=const), utt(z0)<0 => f''(z0)0.
Найдем направление наибыстрейшего спуска.
f(z)=f(z0)+(1/2)f''(z0)(z-z0)2+O(|z-z0|3);  (1/2)f''(z0)=keiy, z-z0=reiq,
u(x,y)=u(x0,y0)+kr2cos(y +2q )+O(r3); v(x,y)=v(x0,y0)+kr2sin(y +2q )+O(r3);
При 0q2p  cos(y +2q )  4 раза обращается в 0 => окрестность точки z0 разбивается на 4 сектора- два положительных: cos(y+2q )>0, и два отрицательных: cos(y +2q )<0.
Кривая С должна в точке z0 переходить из одного отрицательного сектора в другой.
Направление наибыстрейшего спуска определяется условием cos(y +2q )=-1 =>
y +2q0=p; q0=(p -y )/2,  где f''(z0)=2keiy.
Перейдем теперь к вычислению первого члена асимптотики интеграла.
F(l )=elf(z)j(z)dz= eil v(z0)elu(z)j(z)dz, v(x,y)|C=const.
Параметризуем контур интегрирования С: z=z(t), z0=z(0);

F1(l )=elU(t)F(t)(dz/dt)dt; F(t)=j(z(t)); U(t)=u(x(t),y(t)), U(0)>U(t), U'(0)=0;
Выполнены все условия применимости формулы Лапласа.
F1(l )=; U(0)=u(x0,y0); F (0)=j (z0);
Т.к. V(t)|C=const=> V"(t)|C=0; => U"(0)= d2/dt2 [f(z(t))]|t=0 =d/dt [f'(z) dz/dt]|t=0 =
=[f"(z) (dz/dt)2]|t=0+[f'(z)d2z/dt2]|t=0 =={f'(z0)=0}=f"(z0)[(dz/dt)2]|t=0.
Осталось найти [(dz/dt)2]|t=0.
z=z0+teiq 0, 2q0=p-y; => [(dz/dt)]|t=0=eiq 0; |(dz/dt)||t=0=1 => [(dz/dt)2]|t=0= ei2q 0;
а т.к. f"(z0)=2keiy=> U"(0)=f"(z0)[(dz/dt)2]|t=0= 2keiyei2q 0=2kei(y +2q 0)=2keip= -2k= -|f"(z0)|. =>
=> F(l )=, где q0=(p -y )/2, y=arg f"(z0).
Итак, окончательно при l>>1 и f'(z0)=0 получим :
F(l )=, где q0=(p -y )/2, y=arg f"(z0).
Знак  определяется направлением интегрирования.

Назад       Вверх